🟩 **1. Definicija**
**Racionalni brojevi** su brojevi koji se mogu zapisati u obliku razlomka:
\[
\frac{a}{b}, \quad \text{gdje je } a \in \mathbb{Z}, \, b \in \mathbb{N}, \, b \neq 0
\]
Drugim riječima, **racionalni broj** predstavlja **omjer dvaju cijelih brojeva**.
Oni mogu biti **pozitivni, negativni** ili **nula**.
—
🟨 **2. Skup racionalnih brojeva**
Skup racionalnih brojeva označava se slovom $ \mathbb{Q} $ (od latinske riječi *quotient* = količnik):
\[
\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \, \bigg| \, a, b \in \mathbb{Z}, \, b \neq 0 \right\}
\]
Primjeri racionalnih brojeva:
\[
\frac{1}{2}, \quad -\frac{3}{4}, \quad \frac{7}{1} = 7, \quad 0 = \frac{0}{5}
\]
—
🟧 **3. Svojstva racionalnih brojeva**
1. **Zatvorenost:**
Zbrajanje, oduzimanje i množenje dvaju racionalnih brojeva uvijek daje racionalan broj.
Primjer:
\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}
\]
2. **Suprotni broj:**
Svaki racionalni broj $\frac{a}{b}$ ima svoj suprotni broj $-\frac{a}{b}$.
3. **Recipročan broj:**
Svaki racionalni broj osim nule ima svoj **recipročan** (obrnuti) broj:
\[
\frac{a}{b} \Rightarrow \frac{b}{a}
\]
(npr. $\frac{2}{3}$ i $\frac{3}{2}$ su recipročni brojevi).
4. **Decimalni zapis:**
Racionalni brojevi se mogu zapisati u obliku **konačnih** ili **periodičnih decimala**:
\[
\frac{1}{2} = 0.5, \quad \frac{1}{3} = 0.\overline{3}
\]
—
🟪 **4. Primjeri**
\[
\frac{2}{5} + \frac{1}{10} = \frac{1}{2}
\]
\[
-\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = -\frac{2}{3}
\]
\[
\frac{5}{6} – \frac{1}{3} = \frac{1}{2}
\]
Svi ovi rezultati su racionalni brojevi jer se mogu prikazati kao omjer cijelih brojeva.
—
🟥 **5. Napomena**
Svaki **cijeli broj** je ujedno i **racionalan broj**, jer ga možemo zapisati kao razlomak s nazivnikom 1:
\[
5 = \frac{5}{1}, \quad -8 = \frac{-8}{1}
\]
Dakle, vrijedi:
\[
\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}
\]
