🟩 **1. Definicija**
**Cijeli brojevi** proširuju skup prirodnih brojeva dodavanjem **negativnih brojeva** i **nule**.
Oni omogućuju prikaz i **dugova, smanjenja** ili **vrijednosti ispod nule**.
\[
\text{Cijeli brojevi} = \text{negativni brojevi} + \text{nula} + \text{pozitivni brojevi}
\]
—
🟨 **2. Skup cijelih brojeva**
Skup svih cijelih brojeva označava se slovom $ \mathbb{Z} $ (od njemačke riječi *Zahlen*, što znači „brojevi”).
Zapisuje se ovako:
\[
\mathbb{Z} = \{ \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \}
\]
—
🟧 **3. Svojstva cijelih brojeva**
1. **Zatvorenost:**
– Ako zbrajamo ili množimo dva cijela broja, rezultat je uvijek cijeli broj:
\[
a + b \in \mathbb{Z}, \quad a \cdot b \in \mathbb{Z}
\]
– Oduzimanje dvaju cijelih brojeva također daje cijeli broj.
2. **Neutralni elementi:**
– Za zbrajanje neutralan je broj **0**, jer vrijedi:
\[
a + 0 = a
\]
– Za množenje neutralan je broj **1**:
\[
a \cdot 1 = a
\]
3. **Suprotni broj:**
– Svaki cijeli broj $a$ ima svoj **suprotni broj** $-a$, tako da vrijedi:
\[
a + (-a) = 0
\]
—
🟪 **4. Primjeri**
\[
5 – 8 = -3
\]
→ rezultat je cijeli broj, jer $ -3 \in \mathbb{Z} $.
\[
(-4) + 9 = 5
\]
→ rezultat je također cijeli broj.
\[
(-2) \cdot (-6) = 12
\]
→ umnožak dvaju negativnih brojeva daje pozitivan broj.
—
🟥 **5. Napomena**
Skup cijelih brojeva obuhvaća i prirodne brojeve:
\[
\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}
\]
To znači da je svaki prirodan broj istovremeno i cijeli broj.
